第76章 数学为形式之学

2004.清晰地掌握空间概念是所有几何推理的首要前提；而这种概念的清晰性可以通过考察公理是否能在心智中呈现为自明的来检验。

——休厄尔，威廉。

《归纳科学的哲学》，第一部分，第二卷，第四章，第四节（伦敦，1858年）。

明析空间之念，乃一切几何推理之首要前提；而此念之明，可验于公理是否自显于心为不证自明。

——休厄尔，威廉。

《归纳科学的哲学》，第一部分，第二卷，第四章，第四节（伦敦，1858年）。

2005．几何公理既不是先天综合结论，也不是实验事实。

它们是约定：在所有可能的约定中，我们的选择受实验事实的指引，但依然是自由的，唯一的限制是必须避免所有矛盾……换句话说，几何公理只是伪装起来的定义。

既然如此，人们该如何看待这个问题：欧几里得几何是真的吗？

这个问题毫无意义。

这就好比问公制是真的而旧度量衡是假的，或者笛卡尔坐标系是真的而极坐标系是假的一样。

——庞加莱，h.

《非欧几何》；《自然》杂志，第45卷（1891-1892年），第407页。

几何公理，非先天综合之论，亦非实验之实。

乃约定也：于诸可能之约中，吾辈之选虽为实验所导，然仍自由，唯以避矛盾为限……易言之，几何公理者，伪装之定义耳。

既如此，则“欧氏几何为真乎”

之问，实属无谓。

犹问度量衡之公制为真、旧制为妄，或笛卡尔坐标为真、极坐标为妄也。

——庞加莱，h.

《非欧几何》；《自然》杂志，四十五卷（1891-1892年），四百七页。

2006．我完全不认同这种观点（即公理是我们完全随意假定的命题，同样，基本概念归根结底也只是我们用来运算的任意符号），我认为这是所有科学的消亡：在我看来，几何公理并非任意的，而是合理的命题，它们通常源于空间直觉，其各自的内容和序列由权宜性理由所支配。

——克莱因，F.

《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），第2卷，第384页。

吾全然不契此说（谓公理乃随意假定之命题，基本概念终亦不过运算之符号），视之为众学之亡也：在吾观之，几何公理非任意，乃合理之论，多源于空间直觉，其各自之内容与次第，皆由权宜之理所辖。

——克莱因，F.

《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），二卷，三百八十四页。

2007．欧几里得第五公设[平行公理]

如果一条直线与两条直线相交，使得同旁内角小于两个直角，那么这两条直线如果无限延长，会在这两个内角所在的一侧相交。

——欧几里得

《欧几里得几何原本十三卷》[t.L.希思译本]，第1卷（剑桥，1908年），第202页。

欧几里得第五公设[平行公理]

若一直线与两直线相交，使同旁内角小于二直角，则此两直线若无限延长，必于内角小处之侧相交。

——欧几里得

《欧几里得几何原本十三卷》[希思译]，一卷（剑桥，1908年），二百二页。

2008．必须承认，欧几里得的[平行]公理作为平行线理论的基础是不令人满意的。

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